TEQNOLOGIKO EKPAIDEUTIKO IDRUMA SERRWN TMHMA MHQANOLOGIAS SHMEIWSEIS FUSIKHS I. Nikìlaoc N. Arpatzˆnhc Dr Fusikìc

Transcript

1 TEQNOLOGIKO EKPAIDEUTIKO IDRUMA SERRWN TMHMA MHQANOLOGIAS SHMEIWSEIS FUSIKHS I Nikìlaoc N. Arpatzˆnhc Dr Fusikìc Sèrrec 2009

2 ii

3 Perieqìmena Εισαγωγή vii 1 Μαθηματική εισαγωγή Παράγωγος Κανόνες παραγώγισης Παραδείγματα Ολοκλήρωμα Αόριστο ολοκλήρωμα Κανόνες ολοκλήρωσης Παραδείγματα Ορισμένο ολοκλήρωμα Παραδείγματα Εκθετικά και λογάριθμοι Τριγωνομετρία Σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Τριγωνομετρικός κύκλος Φυσικά μεγέθη - Μετρήσεις Διαστατική ανάλυση Παραδείγματα Βαθμωτά και Διανυσματικά μεγέθη Αλγεβρικοί κανόνες Αριθμητική διανυσμάτων Κίνηση σε 1 διάσταση Θέση Μετατόπιση Ταχύτητα Μέση ταχύτητα Στιγμιαία ταχύτητα Επιτάχυνση Μέση επιτάχυνση Στιγμιαία επιτάχυνση Ασκήσεις Νόμοι της κίνησης Δύναμη Νόμοι κίνησης του Newton os νόμος: Νόμος της Αδράνειας os νόμος: Θεμελιώδης νόμος Μηχανικής os νόμος: Δράση-Αντίδραση Συνήθεις δυνάμεις iii

4 iv ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ Δύναμη Βαρύτητας - Βάρος και Αντίδραση επιφάνειας Τάση (νήματος) Δυνάμεις Τριβής Εφαρμογές των νόμων του Newton Σώματα σε ισορροπία ( a = 0) Μεθοδολογία επίλυσης προβλημάτων για σώματα σε ισορροπία Σώματα που δεν βρίσκονται σε ισορροπία ( a 0) Μεθοδολογία επίλυσης προβλημάτων, για σώματα που δεν βρίσκονται σε ισορροπία Ασκήσεις Ομαλή Κυκλική Κίνηση Χαρακτηριστικά της κυκλικής κίνησης Μήκος τόξου Γωνιακή ταχύτητα Γραμμική ταχύτητα Περίοδος της κίνησης Κεντρομόλος δύναμη και επιτάχυνση Ασκήσεις Εργο και Ενέργεια Σύστημα και περιβάλλον Η έννοια του έργου Εργο σταθερής δύναμης Εργο μεταβλητής δύναμης Θεώρημα Εργου-Ενέργειας Κινητική ενέργεια Δυναμική ενέργεια Διατήρηση Μηχανικής Ενέργειας Συντηρητικές και μη-συντηρητικές Δυνάμεις Ορμή και ώθηση Διατήρηση της ορμής Ασκήσεις Δυναμική στερεού σώματος Ροπή δύναμης Ισορροπία στερεού σώματος Περιστροφική κίνηση στερεού σώματος Κέντρο μάζας Ροπή αδράνειας Κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής Στροφορμή Διατήρηση στροφορμής Μεθοδολογία επίλυσης προβλημάτων Ασκήσεις Αʹ Λύσεις ασκήσεων 51 Αʹ.1 Κεφάλαιο Αʹ.2 Κεφάλαιο Αʹ.3 Κεφάλαιο Αʹ.4 Κεφάλαιο Αʹ.5 Κεφάλαιο

5 Prìlogoc Το κείμενο που ακολουθεί είναι το σύνολο των διδακτικών σημειώσεων για το μάθημα της Φυσικής I, στο Τμήμα Μηχανολογίας του ΤΕΙ Σερρών το οποίο δίδαξα για πρώτη φορά κατά το Χειμερικό Εξάμηνο του Ακαδ. Ετους Πρέπει να τονίσω ότι πρόκειται για διδακτικές σημειώσεις και σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να αντιμετωπιστεί ως πλήρες σύγγραμμα. Στο σημείο αυτό θα ήθελα να ευχαριστήσω κατ αρχήν την επιτροπή αξιολόγησης του Τμήματος Μηχανολογίας του ΤΕΙ Σερρών για την τιμή που μου έκανε να μου αναθέσει τη διδασκαλία του μαθήματος, τον συνάδελφο Δρ. Κώστα Κλεΐδη για την πολύτιμη βοήθειά του και κυρίως τους φοιτητές του Τμήματος, που συμμετείχαν ουσιαστικά, στη διαμόρφωση του παρόντος κειμένου. Νικόλαος Ν. Αρπατζάνης Επιστημονικός Συνεργάτης v

6 vi ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ

7 Eisagwg To {perieqìmeno} thc Fusik c Η μελέτη της συμπεριφοράς και της σύνθεσης της ύλης και της ενέργειας και οι αλληλεπίδράσεις τους. Klˆdoi thc Fusik c Κλασσική Φυσική Μηχανική Θερμοδυναμική Μηχανική ρευστών Ηλεκτρομαγνητισμός Οπτική Κυματική Σύγχρονη Φυσική Ειδική και γενική σχετικότητα Κβαντομηχανική Πυρηνική Φυσική Στατιστική μηχανική (η θερμοδυναμική με όρους της θεωρίας πιθανοτήτων) Φυσική της συμπυκνωμένης ύλης (Φυσική της Στερεάς Κατάστασης) H sumperiforˆ thc Ôlhc Η ύλη κινείται (ακολουθεί «τροχιές»), ως αποτέλεσμα της επίδρασης κάποιας δύναμης. Οι δυνάμεις που συναντάμε στη φύση διακρίνονται σε: Δυνάμεις εξ επαφής: Ασκούνται μέσω «συγκρούσεων», όπως περιγράφονται απ το 2 o νόμο του Newton για την κίνηση: F = mα Πεδιακές (ή φυσικές) δυνάμεις: Ασκούνται στα σώματα εξαιτίας της θέσης τους σε κάποιο «πεδίο δυνάμεων». Υπάρχουν 4 πεδία δυνάμεων στη φύση: Ισχυρό, Ηλεκτρομαγνητικό, Ασθενές και Βαρυτικό. vii

8 viii ΕΙΣΑΓΩΓ Η H dom thc Fusik c Basikèc ènnoiec Μέγεθος: Μια έννοια ή φυσική ποσότητα που χρησιμεύει για την ανάλυση - ερμηνεία της φύσης (π.χ., «διάστημα», «μήκος», «μάζα», «χρόνος»). Νόμος: Μαθηματική σχέση ανάμεσα σε φυσικές ποσότητες. Αρχή: Μια γενική δήλωση για το πώσλειτουργεί η φύση(π.χ., η αρχή της σχετικότητας, σύμφωνα με την οποία δεν υπάρχει το «απόλυτο» σύστημα αναφοράς είναι η βάση για τη θεωρία της σχετικότητας). Μοντέλο: Αναπαράσταση ενός φυσικού συστήματος (π.χ., το ατομικό μοντέλο του Bohr). Υπόθεση: Τα στάδια δημιουργίας ενός μοντέλου που δεν έχουν επιβεβαιωθεί πειραματικά. Θεωρία: Σύνολο υποθέσεων που επιβεβαιώνονται από εκτέλεση πολλαπλών πειραμάτων (π.χ., η θεωρία του Newton για τη βαρύτητα). Η θεωρία γίνεται αποδεκτή στη Φυσική μόνον όταν επιβεβαιώνεται από πολλαπλά πειράματα. Episthmonik mèjodoc Οι επιστημονικές θεωρίες αναπτύσσονται με χρήση της επιστημονικής μεθόδου: Γίνεται μια υπόθεση, με βάση την καθημερινή εμπειρία και παρατήρηση. Με βάση την υπόθεση «κατασκευάζεται» ένα μοντέλο. Η αξιοπιστία του μοντέλου ελέγχεται με επαναλαμβανόμενα πειράματα. Αν η υπόθεση/μοντέλο επιβεβαιωθεί πειραματικά γίνεται αποδεκτή ως θεωρία. Mètrhsh - Monˆdec Σήμερα, στη Φυσική, χρησιμοποιείται κυρίως το Διεθνές Σύστημα Μονάδων (SI), για τη μέτρηση των φυσικών μεγεθών. Τα βασικά φυσικά μεγέθη, που χαρακτηρίζουν το Διεθνές Σύστημα Μονάδων είναι το μήκος, η μάζα και ο χρόνος. Οι μονάδες μέτρησης των μεγεθών αυτών είναι: Μήκος [L]: μέτρο [m] Μάζα [M]: χιλιόγραμμο [kg] Χρόνος [T ]: δευτερόλεπτο [s] Episthmonikìc sumbolismìc Στα προβλήματα Φυσικής συχνά εμφανίζονται αριθμοί είτε πολύ μεγάλοι είτε πολύ μικροί. Οι αριθμοί αυτοί εκφράζονται με χρήση του επιστημονικού συμβολισμού: m 10 n

9 ix Το m καλείται «μέτρο» (mantissa) του αριθμού και μπορεί να είναι θετικός ή αρνητικός πραγματικός αριθμός, με απόλυτη τιμή που κυμαίνεται: 1 m 10 Το n καλείται «εκθετικό» του αριθμού και μπορεί να είναι οποιοσδήποτε, θετικός ή αρνητικός, ακέραιος ανάμεσα στα + :,..., 2, 1, 0, 1, 2,..., + Δυνάμεις του 10: = = = = = = = = = = = = = = 10 0 Ο επιστημονικός συμβολισμός των αριθμών 525 και είναι: 525 = = Πολλαπλασιασμός: ( ) ( ) = = Διαίρεση: ( ) ( ) = ( 10) = = = = = = = ( 4) = = Υψωση σε δύναμη: = ( ) 2 = 2 2 (10 2 ) 2 = = (1600) 2 = ( ) 1 2 = (4 2 ) 1 2 (10 2 ) 1 2 = = 4 10 = 40 Σημείωση: x = x x = x 1 3 κ.ο.κ.

10 x ΕΙΣΑΓΩΓ Η

11 Kefˆlaio 1 Majhmatik eisagwg Τα μαθηματικά είναι η «γλώσσα» της Φυσικής. Τα περισσότερα φυσικά μεγέθη εκφράζονται ως συναρτήσεις του χρόνου ή της θέσης. Οι βασικές διαδικασίες «χειρισμού» των συναρτήσεων στα μαθηματικά είναι η παραγώγιση και η ολοκλήρωση. Οι λογάριθμοι σχετίζονται με την αναπαράσταση συγκεκριμένων φυσικών φαινομένων (όπως π.χ. η πτώση σωμάτων με την επίδραση της αντίστασης του αέρα). Τέλος η τριγωνομετρία είναι απαραίτητη για την κατανόηση της ανάλυσης διανυσματικών μεγεθών σε καθορισμένες διευθύνσεις. 1.1 Parˆgwgoc Ως παράγωγος ενός μεγέθους, που είναι συνάρτηση του χρόνου, ορίζεται ο ρυθμός μεταβολής του μεγέθους, δηλαδή το πόσο γρήγορα ή αργά μεταβάλλεται η τιμή του μεγέθους με την πάροδο του χρόνου. Η παράγωγος μιας συνάρτησης f(t) συμβολίζεται είτε με f (t), είτε με df dt. Η παράγωγος μιας συνάρτησης f μπορεί να είναι: θετική: ( df dt > 0 ) η τιμή του μεγέθους ΑΥΞΑΝΕΙ. αρνητική: ( df dt < 0 ) η τιμή του μεγέθους ΜΕΙΩΝΕΤΑΙ. μηδέν: ( df dt = 0 ) η τιμή του μεγέθους παραμένει ΣΤΑΘΕΡΗ Πίνακας 1.1: Parˆgwgoi stoiqeiwd n sunart sewn dt = (t m ) = mt m 1 d(sint) dt = (sint) d(cost) = cost dt = (cost) = sint d(lnt) dt = (lnt) = 1 d(e t ) t dt = (e t ) = e t dt m Kanìnec parag gishc Αν f 1 (t) και f 2 (t) είναι συναρτήσεις και c 1, c 2 σταθεροί αριθμοί, τότε ισχύουν οι ακόλουθοι κανόνες παραγώγισης (πίνακας 1.2): ParadeÐgmata 1. ( t 4 + 2t ) = ( t 4 ) + 2 ( t 3 ) + (13) = 4t ( 3t 2) + 0 = 4t 3 + 6t 2 = 2t 2 (2t + 3) 2. ( t 2 e t) = ( t 2 ) e t + t 2 (e t ) = 2te t + t 2 e t = te t (t + 2) 3. (tant) = ( ) sint cost = (sint) cost sint(cost) cos 2 t = cost cost sint ( sint) cos 2 t = cos2 t+sin 2 t cos 2 t = 1 cos 2 t 1

12 2 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚ Η ΕΙΣΑΓΩΓ Η Πίνακας 1.2: Kanìnec parag gishc Παράγωγος αθροίσματος ή διαφοράς [c 1 f 1 (t)±c 2 f 2 (t)] = c 1 f 1 (t)±c 2 f 2 (t) Παράγωγος γινομένου [f 1 (t) f 2 (t)] = (f 1 (t)) f 2 (t) + f 1 (t) (f 2 (t)) ) Παράγωγος πηλίκου = (f 1(t)) f 2(t) f 1(t) (f 2(t)) 1.2 Olokl rwma ( f1(t) f 2(t) (f 2(t)) 2 Η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη διαδικασία - πράξη της παραγώγισης. Δηλαδή, απ το ρυθμό μεταβολής ενός μεγέθους (παράγωγος) υπολογίζεται η τιμή του μεγέθους. Υπάρχουν δύο τύποι ολοκληρωμάτων: τα αόριστα και τα ορισμένα Aìristo olokl rwma Ως αποτέλεσμα του υπολογισμού της τιμής του αόριστου ολοκληρώματος μιας συνάρτησης προκύπτει μια νέα συνάρτηση. Η γενική μορφή ενός τέτοιου υπολογισμού περιγράφεται ως εξής: Στην εξ. 1.1: f(t): Ολοκληρωτέα ποσότητα f(t)dt = F (t) + c (1.1) dt: Διαφορικό ολοκλήρωσης. ολοκλήρωσης Δείχνει τη μεταβλητή ως προς την οποία γίνεται η πράξη της F (t): Αποτέλεσμα ολοκλήρωσης Νέα συνάρτηση c: Σταθερή ολοκλήρωσης (υπολογίζεται από τις αρχικές συνθήκες του προβλήματος, π.χ. απ το τι ισχύει για την F (t) όταν t = 0) Πίνακας 1.3: Oloklhr mata stoiqeiwd n sunart sewn dt = t + c t m dt = tm+1 m+1 + c, m 1 dt t dt = ln t + c e t dt = e t + c sintdt = cost + c costdt = sint + c Kanìnec olokl rwshc Αν f 1 (t) και f 2 (t) είναι συναρτήσεις και c 1, c 2 σταθεροί αριθμοί, τότε ισχύει ο ακόλουθος κανόνας ολοκλήρωσης: Από τον υπολογισμό των δύο ολοκληρωμάτων του δεύτερου μέλους θα προκύψει μία αυθαίρετη σταθερή. Πίνακας 1.4: Kanìnec olokl rwshc Ολοκλήρωμα αθροίσματος ή διαφοράς [c1 f 1 (t)±c 2 f 2 (t)] dt = c 1 f1 (t)dt±c 2 f2 (t)dt

13 1.2. ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΜΑ ParadeÐgmata 1. ( 2t t + et) dt = 2 t 3 dt + 3 dt t dt + e t dt = 2 t ln t + et + c = t ln t + et + c 2. Δίνεται η συνάρτηση: f(t) = ( 3t 3 + 2t + 1 ) dt. Να υπολογιστεί η τιμή της f(t) για t = 2, αν γνωρίζουμε ότι για t = 0 είναι f = 8. (αʹ) Πρώτα υπολογίζουμε την τιμή του ολοκληρώματος: (3t f(t) = 3 + 2t + 1 ) dt = 3 t 3 dt + 2 tdt + (tdt) = 3 t t2 2 + t + c f(t) = 3 4 t4 + t 2 + t + c (βʹ) Υπολογίζουμε την αυθαίρετη σταθερή c, από τις αρχικές συνθήκες f(0) = 8: f(0) = c = 8 c = 8 οπότε: f(t) = 3 4 t4 + t 2 + t + 8 (γʹ) Θέτουμε t = 2, για να υπολογίσουμε τη ζητούμενη τιμή της f: f(2) = = = = ( 1 t + t ) dt = dt 3 t + tdt = t 3 dt + t dt = t Orismèno olokl rwma t Το αποτέλεσμα του υπολογισμού ενός ορισμένου ολοκληρώματος είναι ΑΡΙΘΜΟΣ. Στην εξίσωση 1.2: β Οι αριθμοί α, β ονομάζονται ΟΡΙΑ της ολοκλήρωσης α Στο ορισμένο ολοκλήρωμα ΔΕΝ υπάρχει αυθαίρετη σταθερή + c = t t3 + c f(t)dt = [F (t)] β α = F (β) F (α) (1.2) Το σύμβολο [F (t)] β α υποδηλώνει την πράξη: [F (t)]β α = F (β) F (α) ParadeÐgmata 1. 4 ( 1 t 3 + 2t + 3 ) dt = 4 1 t3 dt tdt + 3 [ 4 1 dt = t 4 4 ( ) (4 1) = ( ) ( = = [ ] t t 1 τ 3 τ dτ = 4 4 = t = ( 1 4 t 4 1 ) 1 ] 4 1 [ ] 4 t ( ) + 3 [t] 4 1 = ) = = =

14 4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚ Η ΕΙΣΑΓΩΓ Η 1.3 Ekjetikˆ kai logˆrijmoi y = α x (η βάση α υψώνεται στη δύναμη (εκθέτη) x) x = log α y (ο εκθέτης x είναι ο λογάριθμος του y με βάση α), y > 0 Ιδιότητες: Γινόμενο: log α (x y) = log α x + log α y ( ) x Πηλίκο: log α y = log α x log α y Δύναμη: log α (y n ) = n log α y Συνήθως συναντάμε λογαρίθμους με βάση: το 10 Δεκαδικοί λογάριθμοι: log α = log 10 log x = logy y = 10 x το e = Φυσικοί ή Νεπέριοι λογάριθμοι: log α = log e ln x = lny y = e x Ειδικές τιμές: ln0 = ln1 = 0 lne = TrigwnometrÐa Sqèseic se orjog nio trðgwno Σχήμα 1.1: Orjog nio trðgwno sinθ = a c, cosθ = b c, tanθ = a b = sinθ cosθ a 2 + b 2 = c 2 ή sin 2 θ + cos 2 θ = 1 θ + φ = 90 o = π 2 (rad) Trigwnometrikìc kôkloc Στο σχ. 1.2 φαίνεται ο τριγωνομετρικός κύκλος, ο οποίος ορίζεται ως κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα c = 1. Αρχή μετρησης των τόξων (γωνιών) είναι το A. Τα τόξα θεωρούνται θετικά κατά την αριστερόστροφη φορά και αρνητικά κατά τη δεξιόστροφη φορά. Τα τόξα μετρώνται σε ακτίνια. Ο κύκλος έχει 2π ακτίνια (rad) και η σχέση τους με τις μοίρες είναι η εξής: 1rad = 180o π, 2πrad = 360o, 1 o = π 180 rad

15 1.4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡ ΙΑ 5 Σχήμα 1.2: Trigwnometrikìc kôkloc Πίνακας 1.5: Oi trigwnometrikoð arijmoð me bˆsh ton trigwnometrikì kôklo Ημίτονο sinω = b c sinω = b c = 1 Συνημίτονο cosω = a c sinω = a c = 1 Εφαπτομένη tanω = b a = AM OA = AM ομοιότητα τριγώνων OAM, OxM, OA = c = 1 Συνεφαπτομένη cotω = a b = BM OB = BM ομοιότητα τριγώνων OBM, OyM, OB = c = 1 Πίνακας 1.6: Sqèseic anagwg c sto pr to tetrthmìrio π φ ω 2 ±ω π±ω 3π 2 ±ω 2π±ω sinφ sinω cosω sinω cosω ±sinω cosφ cosω sinω cosω ±sinω cosω tanφ tanω cotω ±tanω cotω ±tanω cotφ cotω tanω ±cotω tanω ±cotω Πίνακας 1.7: BasikoÐ trigwnometrikoð arijmoð φ(rad) φ( o ) sinφ cosφ π π π π

16 6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚ Η ΕΙΣΑΓΩΓ Η

17 Kefˆlaio 2 Fusikˆ megèjh - Metr seic Οι φυσικοί νόμοι εκφράζονται ως μαθηματικές σχέσεις ανάμεσα σε φυσικές ποσότητες - μεγέθη, τα περισσότερα απ τα οποία είναι παράγωγα μεγέθη, δηλαδή εκφράζονται ως συνδυασμοί βασικών - στοιχειωδών μεγεθών. Στον κλάδο της Μηχανικής τα στοιχειώδη φυσικά μεγέθη είναι το μήκος, η μάζα και ο χρόνος. 2.1 Diastatik anˆlush Ο όρος διάσταση έχει ιδιαίτερη σημασία στη Φυσική. Υποδηλώνει τη φύση μιας ποσότητας. Τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται για να δηλώσουν διαστάσεις μήκους, μάζας και χρόνου είναι L, M και T, αντίστοιχα. Για παράδειγμα οι διαστάσεις της ταχύτητας συμβολίζονται [υ] = L T. Σε κάθε περίπτωση απαιτείται ο «έλεγχος» της ορθότητας μιας έκφρασης - εξίσωσης. Μια χρήσιμη διαδικασία είναι η διαστατική ανάλυση, που επιβεβαιώνει το γεγονός ότι οι διαστάσεις μπορούν να αντιμετωπίζονται ως αλγεβρικές ποσότητες: 1. Θα πρέπει να διασφαλίζεται το γεγονός ότι οι διαστάσεις (μονάδες) στα μέλη μιας εξίσωσης είναι ίδιες. 2. Θα πρέπει, κάθε παράμετρος σε μια εξίσωση, να ανάγεται σε συνδυασμό των τριών βασικών μεγεθών: μήκους [L], μάζας [M] και χρόνου [T ] ParadeÐgmata 1. Δείξτε ότι η έκφραση υ = a t, όπου υ η ταχύτητα, a η επιτάχυνση και t ο χρόνος είναι διαστατικά ορθή: που δείχνει την ορθότητα της έκφρασης. [a] = L T 2 [υ] = [a t] = L T 2 T = L T, 2. Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται σε πεδίο βαρύτητας είναι ανάλογη με τη μάζα του σώματος που προκαλεί το πεδίο και αντίστροφα ανάλογη με το τετράγωνο του μέτρου της απόστασης των σωμάτων: a = G M r 2, όπου G σταθερή. Βρείτε τις διαστάσεις του G. όπου L μήκος, M μάζα, T χρόνος. Οπότε: G M [ [a] ] r 2 [G] = r2 [M] [a] = L T 2 = LT 2, [M] = M, [r] = L, 7 = LT 2 L 2 M = L3 M 1 T 2,

18 8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. ΦΥΣΙΚ Α ΜΕΓ ΕΘΗ - ΜΕΤΡ ΗΣΕΙΣ δηλ. οι διαστάσεις του G είναι: m 3 kg s Θεωρήστε ότι η επιτάχυνση a ενός σωματιδίου που κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας r, με σταθερή ταχύτητα υ, είναι ανάλογη μιας δύναμης της r, δηλαδή r n και κάποιας δύναμης της ταχύτητας υ m. Καθορίστε τις τιμές n, m και δώστε μια έκφραση για την επιτάχυνση. Εστω a = kr n υ m, όπου k μια αδιάστατη σταθερή. Θέτουμε στην προηγούμενη έκφραση τις διαστάσεις των a, υ, r: ( ) m L L T 2 = Ln = Ln+m T T m Για να είναι ορθή η εξίσωση από άποψη διαστάσεων, θα πρέπει: n + m = 1 και m = 2 n = 1 a = kr 1 υ 2 = k υ2 r, που είναι η έκφραση για την επιτάχυνση στην ομαλή κυκλική κίνηση. 2.2 Bajmwtˆ kai Dianusmatikˆ megèjh Ενα βαθμωτό μέγεθος περιγράφεται πλήρως από μια αριθμητική τιμή (μέτρο) συνοδευόμενη από τις αντίστοιχες μονάδες (π.χ. χρόνος, μάζα, θερμοκρασία κ.λπ.). Ενα διανυσματικό μέγεθος περιγράφεται πλήρως από μια αριθμητική τιμή (μέτρο) με τις αντίστοιχες μονάδες, αλλά απαιτείται γνώση και της κατεύθυνσής του (π.χ. ταχύτητα, επιτάχυνση κ.λπ.). Η κατεύθυνση ενός διανυσματικού μεγέθους περιλαμβάνει τη διεύθυνση δηλ. τον άξονα κίνησης, καθώς και τον προσανατολισμό της κίνησης δηλ. τη φορά (σχ Οι υπολογισμοί στα βαθμωτά μεγέθη γίνονται με βάση τις συνήθεις Σχήμα 2.1: Χαρακτηριστικά διανύσματος αριθμητικές πράξεις, αρκεί βεβαίως να υπάρχει συμφωνία των μονάδων μέτρησης. Τα διανυσματικά μεγέθη στη Φυσική περιγράφονται με διανύσματα και γι αυτό είναι χρήσιμο να αναφερθούμε στις πράξεις μεταξύ των διανυσμάτων AlgebrikoÐ kanìnec 1. Πολλαπλασιασμός «χιαστί»: mx = ny x y = n m 2. Παραγοντοποίηση: y = mx + mb y = m (x + y) 3. Δυνάμεις και Ρίζες: (αʹ) a a a a a = a 5, ή a a... a = a }{{} m m (βʹ) a 1/m = m a (γʹ) a 0 1, εξ ορισμού

19 2.2. ΒΑΘΜΩΤ Α ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ Α ΜΕΓ ΕΘΗ 9 (δʹ) a m = 1 m (εʹ) (ab) m = a m b m, ( ) a m b = a m b m (ϛʹ) a m a n = a m+n, am a = a m n n (ζʹ) (a m ) n = a mn, n am = a m/n Arijmhtik dianusmˆtwn Πρόσθεση διανυσμάτων Γραφικά: 1. Δύο (ή περισσότερα) διανύσματα, που σχηματίζουν γωνία θ μεταξύ τους μπορούν να προστεθούν, αν τοποθετηθούν διαδοχικά (δηλ. η αρχή κάθε διανύσματος στο τέλος του προηγούμενου), όπως φαίνεται στο σχ. 2.2: Σχήμα 2.2: Πρόσθεση διανυσμάτων Το μέτρο του διανύσματος R δίνεται απ το (γενικευμένο) Πυθαγόρειο Θεώρημα: R = A 2 + B 2 + 2ABcosθ (2.1) 2. Οταν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά και ομόρροπα δηλ. παράλληλα και με την ίδια φορά (σχ. 2.3α), τότε είναι θ = 0 cosθ = 1, οπότε η εξ. 2.1 γίνεται: R = A 2 + B 2 + 2AB = (A + B) 2 = A + B (2.2) Η φορά του διανύσματος R συμπίπτει με τη φορά των A, B. 3. Οταν τα διανύσματα είναι αντίρροπα (σχ. 2.3β) δηλ. παράλληλα και αντίθετης φοράς, τότε θ = π cosθ = 1 και η εξ. 2.1 γίνεται: R = A 2 + B 2 2AB = (A B) 2 = A B (2.3) Η φορά του διανύσματος R συμπίπτει με τη φορά του διανύσματος που έχει το μεγαλύτερο μέτρο. Η απόλυτη τιμή στην εξ. 2.3 δείχνει ότι το μέτρο ενός διανύσματος έχει πάντα θετική τιμή. 4. Οταν τα διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους τότε θ = π 2 cosθ = 0 (σχ. 2.3γ) και η εξ. 2.1 γίνεται: R = A2 + B 2 (2.4) Αλγεβρικά: Για να προστεθούν δύο ή περισσότερα διανύσματα θα πρέπει να αναλυθούν σε 2 συνιστώσες x και y (σχ. 2.4). R = A + B = R x + R y,

20 10 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. ΦΥΣΙΚ Α ΜΕΓ ΕΘΗ - ΜΕΤΡ ΗΣΕΙΣ Σχήμα 2.3: Prìsjesh suggrammik n (a), (b) kai kˆjetwn orjog niwn (g), dianusmˆtwn Σχήμα 2.4: Αλγεβρική πρόσθεση διανυσμάτων όπου R x = A x + B x, A x = 5ˆx, B x = 2ˆx, Ry = A y + B y Ay = 0ŷ By = 2ŷ οπότε R = A + B = (A x + B x )ˆx + (A y + B y )ŷ = (5 + 2)ˆx + (0 + 2)ŷ = 7ˆx + 2ŷ Συνιστώσες διανυσμάτων Ενα διάνυσμα που βρίσκεται σε επίπεδο xψ μπορεί να παρασταθεί ως άθροισμα δύο διανυσμάτων (συνιστωσών), ενός στη διεύθυνση x και ενός στη διεύθυνση y (σχ. 2.5). Σχήμα 2.5: Συνιστώσες διανύσματος R x R = cosθ R x = Rcosθ R y R = sinθ R y = Rsinθ,

21 2.2. ΒΑΘΜΩΤ Α ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚ Α ΜΕΓ ΕΘΗ 11 οπότε μέτρο του διανύσματος: R = R = R 2 x + R 2 y κατεύθυνση του διανύσματος: tanθ = sinθ cosθ = Ry R x θ = tan 1 ( Ry R x ) Αφαίρεση διανυσμάτων Γραφικά: Το δεύτερο διάνυσμα πρέπει να σχεδιαστεί κατά την αντίθετη φορά, οπότε ακολουθείται η διαδικασία που περιγράφηκε για την πρόσθεση (σχ. 2.6) Σχήμα 2.6: Αφαίρεση διανυσμάτων Αλγεβρικά: Η αφαίρεση ενός διανύσματος από άλλο γίνεται με αφαίρεση των αντίστοιχων συνιστωσών τους. Ετσι, για τα διανύσματα του σχήματος 2.6: R = A B = (A x B x )ˆx + (A y B y )ŷ = (5 2)ˆx + (0 2)ŷ = 3ˆx 2ŷ μέτρο του R: R = R = ( 2) 2 = = 13 = κατεύθυνση του R: Γινόμενα διανυσμάτων θ = tan 1 ( R y R x ) = tan 1 ( 2 3 ) = tan 1 ( ) = 33.7 o Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Ο πολλαπλασιασμός ενός αριθμού λ με ένα διάνυσμα α δίνει νέο διάνυσμα β, με μέτρο β = λ α (το μέτρο ενός διανύσματος είναι ΠΑΝΤΑ θετικός αριθμός). Το β είναι παράλληλο στο α και: ομόρροπο του α, όταν λ > 0 (σχ. 2.7α) αντίρροπο του α, όταν λ < 0 (σχ. 2.7β) Σχήμα 2.7: Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

22 12 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. ΦΥΣΙΚ Α ΜΕΓ ΕΘΗ - ΜΕΤΡ ΗΣΕΙΣ Βαθμωτό (ή «εσωτερικό») γινόμενο Συμβολίζεται ως α β και δίνει ως αποτέλεσμα ΑΡΙΘΜΟ. Το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων α και β, που σχηματίζουν γωνία θ μεταξύ τους είναι (σχ. 2.8α): α β = αβcosθ (2.5) Διανύσματα ομόρροπα θ = 0 cosθ = 1 α β = αβ.δηλαδή το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων ισούται με το γινόμενο των μέτρων τους. Διανύσματα αντίρροπα θ = π cosθ = 1 α β = αβ Διανύσματα κάθετα (ορθογώνια), δηλ. θ = π 2 cosθ = 0 α β = 0, που είναι η αναγκαία και ικανή συνθήκη, ώστε δύο διανύσματα να είναι κάθετα μεταξύ τους. Διανυσματικό (ή «εξωτερικό») γινόμενο Συμβολίζεται ως α β και δίνει ΔΙΑΝΥΣΜΑ κάθετο στο επίπεδο που σχηματίζουν τα άλλα δύο. Η φορά του διανύσματος γ = α β, προκύπτει με βάση τον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία, όταν το πρώτο διάνυσμα του γινομένου ( α) στρέφεται προς το δεύτερο β, πάντα προς τη μικρότερη απ τις γωνίες που σχηματίζουν τα διανύσματα (δηλ. 0 θ π) έτσι ώστε το μέτρο του γ: να είναι θετικός αριθμός (σχ. 2.8β). γ = αβsinθ (2.6) Για συγγραμμικά διανύσματα ομόρροπα (θ = 0) ή αντίρροπα (θ = π) είναι sinθ = 0, οπότε: α β = 0 (μηδενικό διάνυσμα). Για ορθογώνια διανύσματα (θ = π 2 sinθ = 1), οπότε: γ = α β = αβ = max Σχήμα 2.8: Βαθμωτό (α) και διανυσματικό (β) γινόμενο διανυσμάτων Ιδιότητες διανυσματικού γινομένου: α ( β + γ) = α β + α γ d dt ( α β) = d α dt β + α d β dt (2.7αʹ) (2.7βʹ)

23 Kefˆlaio 3 KÐnhsh se 1 diˆstash Ενα πρώτο βήμα για τη μελέτη της κλασσικής μηχανικής είναι η περιγραφή της κίνησης με όρους διαστήματος (απόστασης) και χρόνου, χωρίς αναφορά στις αιτίες που προκαλούν την κίνηση. Θα αναφερθούμε συγκεκριμένα μόνο στην κίνηση σε μια διάσταση δηλαδή στην κίνηση σε ευθεία γραμμή. Θα ορίσουμε κατ αρχήν τις έννοιες της θέσης, της απομάκρυνσης (μετατόπισης), της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και, στη συνέχεια, θα μελετήσουμε παραδείγματα με τη βοήθεια του μαθηματικού λογισμού. Κατ αρχήν θα πρέπει να αναφερθούμε σε κάποιες βασικές έννοιες που συναντάμε συχνά σε προβλήματα Φυσικής: Ετσι το υλικό σημείο είναι η βασική παραδοχή - προσέγγιση που μπορεί να υποκαταστήσει ένα σώμα, όταν οι συνθήκες του προβλήματος το επιτρέπουν. Οταν η τυπική κλίμακα του προβλήματος είναι πολύ μεγαλύτερη απ τις διαστάσεις του σώματος, τότε αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως υλικό σημείο, δηλ. χωρίς διαστάσεις (π.χ. για τη μελέτη της κίνησης σε μεγάλες αποστάσεις). Ο χρόνος είναι η βασικότερη παράμετρος στα προβλήματα, μιας και τα περισσότερα μεγέθη εκφράζονται ως συναρτήσεις του χρόνου. Χαρακτηρίζεται απ το γεγονός ότι συνεχώς αυξάνει και δεν επιδέχεται αρνητικές τιμές. 3.1 Jèsh Η θέση ενός σώματος είναι συνάρτηση του χρόνου και δείχνει την απόσταση του σώματος απ το σημείο που θεωρείται ως αρχή του συστήματος συντεταγμένων που χρησιμοποιείται κάθε φορά. Για προβλήματα που αναφέρονται σε μία διάσταση, αρνητική τιμή της θέσης (x(t) < 0) σημαίνει πως το σώμα βρίσκεται αριστερά του σημείου που θεωρείται ως αρχή, ενώ θετική τιμή (x(t) > 0) σημαίνει πως το σώμα βρίσκεται δεξιά της αρχής. Για παράδειγμα: Σχήμα 3.1: Θέση ενός σώματος Θέση του Β: x B = 2m, δηλ. 2m αριστερά του Ο Θέση του Α: x B = 1m, δηλ. 1m δεξιά του Ο 13

24 14 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. Κ ΙΝΗΣΗ ΣΕ 1 ΔΙ ΑΣΤΑΣΗ 3.2 Metatìpish 1. Ως μετατόπιση ενός σώματος ορίζεται η μεταβολή της θέσης του. 2. Υπολογίζεται ως διαφορά μεταξύ τελικής και αρχικής θέσης του σώματος: x x f x i (3.1) 3. Είναι διανυσματικό μέγεθος: x x f x i (3.2) Για παράδειγμα, η μετατόπιση του σώματος στο σχ. 3.1 είναι: x = x B x A = 1m ( 2m) = 3m ή διανυσματικά: x = x B x A = (1m)ˆx ( 2m)ˆx = (3m)ˆx Η μετατόπιση έχει ΠΑΝΤΑ θετική τιμή. 3.3 TaqÔthta Mèsh taqôthta 1. Η μέση ταχύτητα, ῡ, ορίζεται ως πηλίκο της μετατόπισης ενός σώματος προς το χρόνο που διήρκεσε η μετατόπιση: ῡ = x t = x f xi t f t i ή διανυσματικά: ῡ = x t = x f xi t f t i (3.3) 2. Ημέση ταχύτητα ενός σώματος, κατά τη διάρκεια χρονικού διαστήματος από t i μέχρι t f ισούται με την κλίση της ευθείας μεταξύ αρχικού και τελικού σημείου, στο διάγραμμα της ταχύτητας ως προς το χρόνο (σχ. 3.2). 3. Η απεικόνιση της τιμής της ταχύτητας ενός σώματος, ως προς το χρόνο, ονομάζεται τροχιά. Παράδειγμα Να υπολογιστεί η μέση ταχύτητα του σώματος που κινείται στην τροχιά του σχήματος 3.2. στη θετική x κατεύθυνση. ῡ = x f xi t f t i = 3m 2m 3s 1s = 1m 2s = 0.5m s,

25 3.4. ΕΠΙΤ ΑΧΥΝΣΗ 15 Σχήμα 3.2: Μέση ταχύτητα ενός σώματος StigmiaÐa taqôthta Η στιγιαία ταχύτητα, υ, είναι το όριο της μέσης ταχύτητας όταν το χρονικό διάστημα t γίνεται απειροστά μικρό (τείνει στο μηδέν): ( ) x υ lim = d x t 0 t dt Η εξ. 3.4 είναι ο ορισμός της ταχύτητας ενός σώματος, σύμφωνα με τον οποίο η ταχύτητα ισούται με το ρυθμό μεταβολής της θέσης ενός σώματος, δηλ. με την παράγωγο της θέσης, ως προς το χρόνο: Διακρίνονται οι ακόλουθες περιπτώσεις: υ(t) = x (t) = dx dt [υ] = m s υ(t) > 0: Η απόσταση του υλικού σημείου απ την αρχή αυξάνει υ(t) < 0: Η απόσταση απ την αρχή μειώνεται υ(t) = 0: Η απόσταση απ την αρχή παραμένει σταθερή (το υλικό σημείο έιναι ΑΚΙΝΗΤΟ). Αφού υ(t) = dx dt, η θέση του υλικού σημείου δίνεται απ το ολοκλήρωμα της συνάρτησης της ταχύτητας ως προς το χρόνο: x(t) = υ(t)dt (3.5) Γραφικά, η στιγμιαία ταχύτητα ενός σώματος σε κάποια χρονική στιγμή, ισούται με την κλίση της εφαπτομένης στην τροχιά του σώματος, στη συγκεκριμένη χρονική στιγμή (σχ. 3.3). (3.4) 3.4 Epitˆqunsh Mèsh epitˆqunsh Η μέση επιτάχυνση, a, στη διάρκεια ενός χρονικού διαστήματος t, ορίζεται ως το πηλίκο της μεταβολής της ταχύτητας προς το χρονικό διάστημα: a = υ t = υ f υ i t f t i (3.6)

26 16 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. Κ ΙΝΗΣΗ ΣΕ 1 ΔΙ ΑΣΤΑΣΗ Σχήμα 3.3: Στιγμαία ταχύτητα Παράδειγμα Σε σταματημένο αυτοκόνητο προσκρούει ένα άλλο (σχ. 3.4). Τρία δευτερόλεπτα μετά την πρόσκρουση, το πρώτο αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα 8km/hr. Ποια είναι η μέση επιτάχυνσή του σε μονάδες του SI; ā = υ 1f t f t i υ 1i = Σχήμα 3.4: Μέση επιτάχυνση (8km/hr)ˆx 0ˆx 3s 0s = 8 km hr 1 ˆx = s = ( m s 2 ) ˆx = ( m s 2 ) ˆx = StigmiaÐa epitˆqunsh ( 10 3 ) ( m s s ) ˆx = ( m s 2 ) ˆx Η στιγμιαία επιτάχυνση ενός σώματος, σε κάποια χρονική στιγμή, ισούται με την κλίση του γραφήματος ταχύτητασ-χρόνου στη συγκεκριμένη χρονική στιγμή, δηλ. με την εφαπτομένη της γραμμής υ(t) στο συγκεκριμένο σημείο (σχ. 3.5). Σχήμα 3.5: Γραφικός υπολογισμός μέσης και στιγμιαίας επιτάχυνσης

27 3.5. ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 17 υ a = lim t 0 t d υ dt Σύμφωνα με την εξ. 3.7, η επιτάχυνση ενός σώματος ορίζεται ως ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας του σώματος, δηλ. ισούται με την παράγωγο της ταχύτητας του σώματος, ως προς το χρόνο: Διακρίνονται οι ακόλουθες περιπτώσεις: a(t) = υ (t) = dυ dt [a] = m s 2 a(t) > 0: Το μέτρο της ταχύτητας αυξάνει (επιτάχυνση) a(t) < 0: Το μέτρο της ταχύτητας μειώνεται (επιβράδυνση) a(t) = 0: Το μέτρο της ταχύτητας παραμένει ΣΤΑΘΕΡΟ. Αφού a(t) = dυ dt, η ταχύτητα του υλικού σημείου δίνεται απ το ολοκλήρωμα της συνάρτησης της επιτάχυνσης ως προς το χρόνο: x(t) = a(t)dt (3.8) 3.5 Ask seic 1. Η θέση ενός υλικού σημείου πάνω στον άξονα-x περιγράφεται απ την πιο κάτω συνάρτηση του χρόνου (Εξίσωση Κίνησης): x(t) = 2t 2 6t 20 [x] = m, [t] = s (αʹ) Να προσδιοριστεί η θέση του υλικού σημείου σε χρόνο t = 10s (βʹ) Ποια η φυσική σημασία του όρου Η εξίσωση κίνησης ενός υλικού σημείου που κινείται ευθύγραμμα δίνεται από τη σχέση: x(t) = 1 3 t t2 + 6t + 20 [x] = m, [t] = s (αʹ) Ποια η φυσική σημασία του παράγοντα +20 (βʹ) Να υπολογιστούν η ταχύτητα και η επιτάχυνση του υλικού σημείου: i. Συναρτήσει του χρόνου ii. Κατά τη χρονική στιγμή t = 2s (3.7) (γʹ) Να προσδιοριστεί η χρονική στιγμή κατά την οποία η φορά της κίνησης αντιστρέφεται. Πόσο απέχει τότε το κινητό από την αρχή των αξόνων. 3. Η επιτάχυνση ενός υλικού σημείου που κινείται ευθύγραμμα δίνεται απ τη σχέση: a(t) = 2t [a] = m/s 2, [t] = s Αν κατά τη χρονική στιγμή t = 0, το υλικό σημείο βρισκόταν ακίνητο στη θέση x = 10m, να προσδιοριστεί η θέση του μετά από 10s.

28 18 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. Κ ΙΝΗΣΗ ΣΕ 1 ΔΙ ΑΣΤΑΣΗ 4. Η ταχύτητα ενός υλικού σημείου δίνεται απ τη σχέση: υ(t) = 2t [υ] = m/s, [t] = s Αν για t = 0, το σώμα είναι ακίνητο στην αρχή των αξόνων, να βρεθεί η θέση και η επιτάχυνσή του, τη χρονική στιγμή t = 10s. 5. Τραίνο κινείται με σταθερή ταχύτητα και περνά από σήραγγα μήκους S 1 = 320m σε χρόνο t 1 = 19s. Στη συνέχεια περνά από δεύτερη σήραγγα μήκους S 2 = 540m σε χρόνο t 2 = 30s. Να υπολογιστεί η ταχύτητα του τραίνου και το μήκος του. 6. Δύο τραίνα έχουν μήκη l 1 = 200m και l 2 = 100m και περνούν το ένα δίπλα στα άλλο, κινούμενα σε αντίθετες κατευθύνσεις. Αν οι ταχύτητές τους είναι υ 1 = 108km/hr και υ 2 = 72km/hr, επί πόσο χρόνο θα κινούνται δίπλα - δίπλα;

29 Kefˆlaio 4 Nìmoi thc kðnhshc 4.1 DÔnamh Ως τώρα συζητήθηκε η έννοια της κίνησης και προσδιορίστηκαν τα χαρακτηριστικά της. Το ερώτημα που προκύπτει είναι: Τι προκαλεί την κίνηση;. Η απάντηση στο ερώτημα αυτό είναι: μια ΔΥΝΑΜΗ. Η δύναμη αντιπροσωπεύει την αλληλεπίδραση ενός σώματος με το περιβάλλον του. Διακρίνονται: Δυνάμεις επαφής: Για παράδειγμα το «τράβηγμα» ή το «σπρώξιμο» ενός σώματος (πολλές φορές αναφέρονται ως μηχανικές δυνάμεις). Πεδιακές δυνάμεις: Δεν απαιτείται «φυσική» επαφή του σώματος με το περιβάλλον (αιτία δύναμης) = η δύναμη «μεταφέρεται» μέσω ενός πεδίου (π.χ. βαρύτητα). 4.2 Nìmoi kðnhshc tou Newton os nìmoc: Nìmoc thc Adrˆneiac Ενα σώμα δεν μεταβάλλει την κινητική του κατάσταση (αν είναι ακίνητο παραμένει ακίνητο, ενώ αν κινείται η ταχύτητά του παραμένει σταθερή), εκτός αν δεχθεί την επίδραση μιας δύναμης. 1. Αδράνεια: Η ιδιότητα της ύλης να αντιδρά σε οποιαδήποτε μεταβολή της κινητικής της κατάστασης. 2. Μάζα: Μέτρο της αδράνειας ενός σώματος = η μάζα μετρά την αντίδραση της ύλης στις μεταβολές της κινητικής κατάστασης os nìmoc: Jemeli dhc nìmoc Mhqanik c Το μέτρο της επιτάχυνσης (a) ενός σώματος είναι ανάλογο με το μέτρο της συνολικής δύναμης (F ) που ασκείται στο σώμα και αντίστροφα ανάλογη με τη μάζα (m) του σώματος. Η κατεύθυνση του διανύσματος της επιτάχυνσης, συμπίπτει με αυτήν του διανύσματος της δύναμης: F = m a (4.1) 1. Η εξ. 4.1 ονομάζεται θεμελιώδης εξίσωση της Μηχανικής και είναι από τις σημαντικότερες σχέσεις της Φυσικής. 19

30 20 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. Ν ΟΜΟΙ ΤΗΣ Κ ΙΝΗΣΗΣ 2. Στο σύστημα SI, η δύναμη μετριέται σε newton (N): 1N = 1kg m s 2 (4.2) 1N είναι η δύναμη που, όταν δρα σε σώμα μάζας 1kg του προκαλεί επιτάχυνση μέτρου 1m/s os nìmoc: Drˆsh-AntÐdrash Οταν δύο σώματα αλληλεπιδρούν, το μέτρο της δύναμης που ασκεί το σώμα 1 στο 2 είναι ίσο με το μέτρο της δύναμης που ασκεί το σώμα 2 στο 1, ενώ οι δυνάμεις έχουν αντίθετες κατευθύνσεις (σχ. 4.1). F 12 = F 21 (4.3) Σχήμα 4.1: Δράση - Αντίδραση 4.3 Sun jeic dunˆmeic DÔnamh BarÔthtac - Bˆroc kai AntÐdrash epifˆneiac 1. Ολα τα σώματα που έχουν μάζα είναι πηγές μιας δύναμης που ονομάζεται βαρύτητα. Η βαρύτητα είναι μία απ τις 4 θεμελιώδεις δυνάμεις της φύσης (οι άλλες 3 είναι οι: ασθενής πυρηνική, ισχυρή πυρηνική και ηλεκτρομαγνητική). Η κατεύθυνσή της είναι προς το κέντρο της Γης. 2. Το βάρος ενός σώματος είναι το μέτρο της βαρυτικής δύναμης σε ένα σώμα: Fg = W = m g, (4.4) όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας 3. Εστω ένα σώμα πάνω σε ένα τραπέζι. Το βάρος του σώματος, ή βαρυτική δύναμη, εξισορροπείται απ τη δύναμη που ασκεί το τραπέζι προς τα πάνω, ώστε να εμποδίζει το σώμα κινηθεί λόγω της βαρύτητας (σχ. 4.2): n + W = 0 nŷ W ŷ = 0ŷ n W = 0 n = W 4. Η δύναμη αυτή είναι πάντα κάθετη στην επιφάνεια επαφής των σωμάτων και προέρχεται απ τις ηλεκτρομαγνητικές αλληλεπιδράσεις των ατόμων και μορίων του επιπέδου Tˆsh (n matoc) Οταν ένα σώμα κρέμεται από νήμα «εμφανίζεται» μια δύναμη που εξουδετερώνει τη βαρύτητα και ονομάζεται τάση (σχ. 4.3): T + W = 0 T ŷ W ŷ = 0ŷ T W = 0 T = W

31 4.3. ΣΥΝ ΗΘΕΙΣ ΔΥΝ ΑΜΕΙΣ 21 Σχήμα 4.2: Αντίδραση επιφάνειας επαφής Dunˆmeic Trib c Σχήμα 4.3: Τάση νήματος 1. Σε πολλές περιπτώσεις, στα σώματα που κινούνται ασκούνται δυνάμεις τριβής, που μπορεί να προέρχονται από τις επιφάνειες επαφής, απ τον αέρα κ.ο.κ., οι οποίες επιβραδύνουν την κίνηση = η τριβή έχει πάντα αντίθετη κατεύθυνση απ αυτήν της κίνησης. 2. Οταν ένα σώμα είναι ακίνητο σε μια επιφάνεια, μπορεί να δέχεται την επίδραση μιας δύναμης f s που ονομάζεται στατική τριβή (σχ. 4.4), το μέτρο της οποίας είναι: f s µ s n, (4.5) όπου µ s ο συντελεστής στατικής τριβής και n το μέτρο της αντίδρασης της επιφάνειας. Σχήμα 4.4: Τάση νήματος 3. Εφόσον το σώμα δεν κινείται υπό την επίδραση της εφαρμοζόμενης δύναμης: F f s = 0 (4.6) 4. Αν το μέτρο της εφαρμοζόμενης δύναμης αυξηθεί μέχρι το σώμα να αρχίσει μόλις να «κινείται», η στατική τριβή φτάνει στη μέγιστη τιμή της: f s = µ s n (4.7)

32 22 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. Ν ΟΜΟΙ ΤΗΣ Κ ΙΝΗΣΗΣ 5. Οταν το σώμα τεθεί σε κίνηση, δέχεται πλέον την επίδραση της τριβής ολίσθησης f k, με μέτρο: f s = µ k n, (4.8) όπου µ k ο συντελεστής τριβής ολίσθησης 6. Οι τιμές µ k και µ s δεν είναι απαραίτητα ίσες, για την ίδια επιφάνεια. Συνήθως είναι: µ k µ s 4.4 Efarmogèc twn nìmwn tou Newton S mata se isorropða ( a = 0) 1. Ισορροπία σημαίνει μηδενική επιτάχυνση: a = 0 d υ dt Πιθανές περιπτώσεις - Είδη ισορροπίας: = 0 υ = ΣT AΘEP H (4.9) (αʹ) υ = 0 = Στατική ισορροπία, δηλ. το σώμα παραμένει ΑΚΙΝΗΤΟ (βʹ) υ 0 = Δυναμική ισορροπία, δηλ. (Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση). 2. Οταν ένα σώμα είναι σε ισορροπία: το σώμα κινείται με ΣΤΑΘΕΡΗ ταχύτητα F = 0 Fx = 0 Fy = 0 (4.10αʹ) (4.10βʹ) (4.10γʹ) MejodologÐa epðlushc problhmˆtwn gia s mata se isorropða 1. Σχεδιάζουμε το διάγραμμα που περιγράφει το πρόβλημα 2. Καταγράφουμε δεδομένα και ζητούμενα (χρησιμοποιούμε το ίδιο σύστημα μονάδων SI για όλες τις παραμέτρους 3. Κατασκευάζουμε το διάγραμμα ελεύθερου σώματος (το σώμα που μελετάμε με όλα τα διανύσματα των δυνάμεων που δρουν πάνω του) και επιλέγουμε τη θετική φορά για κάθε διάνυσμα 4. Αναλύουμε (όταν απαιτείται) τις δυνάμεις σε x & y συνιστώσες 5. Χρησιμοποιούμε τις σχέσεις ισορροπίας (εξ. 4.10), για κάθε συνιστώσα Παράδειγμα Να υπολογιστούν τα μέτρα των τάσεων των νημάτων που συγκρατούν το σώμα βάρους 100N, του σχήματος 4.5 Ολα τα μεγέθη στο διάγραμμα εμφανίζονται σε μονάδες του SI Στο διάγραμμα ελεύθερου σώματος (σχ. 4.5β) αναλύουμε τις δυνάμεις σε συνιστώσες x & y: T 1x = T 1 cosθ 1 = T 1 cos40 o = 0.766T 1 T 1y = T 1 sinθ 1 = T 1 sin40 o = T 1

33 4.4. ΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ ΤΩΝ Ν ΟΜΩΝ ΤΟΥ NEWTON 23 Σχήμα 4.5: Σώμα σε ισορροπία T 2x = T 2 cosθ 2 = T 2 cos40 o = 0.766T 2 T 2y = T 2 sinθ 2 = T 2 sin40 o = T 2 W = 100N Γράφουμε τις εξισώσεις ισορροπίας (εξ. 4.10): Fx = 0.766T T 2 = 0 Fy = T T 2 100(N) = 0 (4.11αʹ) (4.11βʹ) Λύνουμε την εξ. 4.11α ως προς T 2 και αντικαθιστούμε στην 4.11β : Οπότε η 4.11β = και έτσι, απ την 4.12 = T 2 = 0.766T T 2 = T 1 (4.12) T T 1 = 100(N) T 1 = 100(N) T 1 = 78(N) T 2 = T 1 = 78(N) S mata pou den brðskontai se isorropða ( a 0) 1. Οταν σε ένα σώμα δρα δύναμη που του προκαλεί επιτάχυνση, το σώμα δε βρίσκεται σε ισορροπία 2. Οταν ένα σώμα δεν βρίσκεται σε ισορροπία, ισχύει ο 2 oς ν. Newton: F = m a Fx = ma x (4.13αʹ) (4.13βʹ) Fy = ma y (4.13γʹ) MejodologÐa epðlushc problhmˆtwn, gia s mata pou den brðskontai se isorropða 1. Ακολουθούμε την ίδια διαδικασία με την περίπτωση της ισορροπίας ΟΜΩΣ: 2. Χρησιμοποιούμε τις εξ Επιλέγουμε το σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε: η επιτάχυνση a να είναι στη θετική κατεύθυνση για κάθε σώμα (δηλ. να είναι μηδενικές οι συνιστώσες της σε κάθε άλλον άξονα).

34 24 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. Ν ΟΜΟΙ ΤΗΣ Κ ΙΝΗΣΗΣ Παράδειγμα Να βρεθεί η επιτάχυνση καθενός από τα σώματα του σχήματος 4.6, αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης ανάμεσα στο σώμα m 1 και το επίπεδο είναι µ k = Να υπολογιστούν επίσης η τάση του νήματος και η αντίδραση που ασκεί το επίπεδο στο σώμα m 1. Δίνονται: m 1 = 7kg, m 2 = 12kg, g = 9.8m/s 2. Σχήμα 4.6: Σώματα που δεν ισορροπούν Ολα τα μεγέθη εκφράζονται σε μονάδες του SI Στο διάγραμμα ελεύθερου σώματος για το αναλύουμε τις δυνάμεις σε συνιστώσες και καταγράφουμε τις εξισώσεις κίνησης: m 1 (σχ. 4.6β): F1x = W 1x n = m 1 gcosθ n = 0 F1y = T f k W 1y = T µ k n m 1 gsinθ = m 1 a m 2 (σχ. 4.6γ): F2y = W 2 T = m 2 g T = m 2 a Απ την εξίσωση για την F 1x υπολογίζουμε την n: n = W 1x = m 1 gcosθ = (7kg)(9.8m/s 2 )cos37 o n = 54.8N Απ την εξίσωση για την F 1y υπολογίζουμε τώρα την επιτάχυνση a: m 1 a = T µ k n m 1 gsinθ m 1 a = T µ k m 1 gcosθ m 1 gsinθ a = T g(µ k cosθ + sinθ) m 1 Λύνουμε και την εξίσωση της F 2y ως προς a: m 2 a = W 2 T m 2 a = m 2 g T a = g T m 2 Απ τις δύο εκφράσεις για την επιτάχυνση έχουμε: T m 1 g(µ k cosθ + sinθ) = g T m 2

35 4.5. ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 25 T + T = g + g(µ k cosθ + sinθ) m 1 m 2 ( ) m1 + m 2 T = g(1 + µ k cosθ + sinθ) m 1 m 2 ( ) m1 m 2 T = g (1 + µ k cosθ + sinθ) m 1 + m 2 ( 7kg12kg T = (9.8m/s 2 ) 7kg + 12kg ) ( cos37 o + sin37 o ) T = (9.8m/s 2 )(4.42kg)1.8 T = 78.1N Τελικά: 4.5 Ask seic a = g T m 2 = 9.8m/s N 12kg a = 3.29m/s 2 Τα σώματα βρίσκονται σε ισορροπία 1. Σώμα μάζας m ισορροπεί σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας θ. Να βρεθεί η σχέση του συντελεστή (στατικής) τριβής με τη γωνία θ. 2. Ενα σώμα βρίσκεται σε (δυναμική) ισορροπία, όταν κινείται με σταθερή ταχύτητα, δηλ. η συνισταμένη δύναμη που δρα πάνω του είναι μηδέν. Οι τιμές του x για τις οποίες συμβαίνει αυτό λέγονται θέσεις ισορροπίας. Σώμα μάζας m = 1kg κινείται ευθύγραμμα, υπό την επίδραση δύναμης με μέτρο F (t) = t 2 + t 6 ([F ] = N, [t] = s). Αν τη χρονική στιγμή t = 0 το σώμα βρισκόταν ακίνητο στην αρχή των αξόνων, να βρεθούν οι θέσεις ισορροπίας του. 3. Η εξίσωση κίνησης ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα είναι: x(t) = t 4 t 3 + 2t + 3 ([x] = m, [[t] = s). Να βρεθούν οι θέσεις ισορροπίας. Τα σώματα δε βρίσκονται σε ισορροπία 4. Η δύναμη είναι συνάρτηση του χρόνου: Υλικό σημείο μάζας m = 2kg κινείται ευθύγραμμα, υπό την επίδραση οριζόντιας δύναμης μέτρου F (t) = 4t ([F ] = N, [t] = s). Στην κίνηση αντιτίθεται σταθερή δύναμη τριβής με μέτρο f k = 2N. Αν τη χρονική στιγμή t = 0 το σώμα βρισκόταν ακίνητο στην αρχή των αξόνων, να βρεθεί η θέση και η ταχύτητά του κατά τη χρονική στιγμή t = 10s. 5. Η δύναμη είναι συνάρτηση της θέσης: Σώμα μάζας m = 1kg κινείται ευθύγραμμα, υπό την επίδραση οριζόντιας δύναμης μέτρου F (x) = 1/ x ([F ] = N, [x] = m). Αν τη χρονική στιγμή t = 0 το σώμα βρισκόταν ακίνητο στην θέση x = 1m, να βρεθεί η ταχύτητά του όταν φτάσει στη θέση x = 4m. 6. Σώμα μάζας m = 2kg κινείται ευθύγραμμα, υπό την επίδραση οριζόντιας δύναμης μέτρου F (x) = 2x ([F ] = N, [x] = m). Σε κάποια χρονική στιγμή το σώμα βρίσκεται ακίνητο στην αρχή των αξόνων, ενώ τη χρονική στιγμή t = 1s βρίσκεται στη θέση x = e 2 (m). Να βρεθεί η θέση του κατά τη χρονική στιγμή t = ln10 1(s).

36 26 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. Ν ΟΜΟΙ ΤΗΣ Κ ΙΝΗΣΗΣ 7. Η δύναμη είναι συνάρτηση της ταχύτητας: Σώμα μάζας m πέφτει από ύψος h, υπό την επίδραση του βάρους του. Στην πτώση του αντιστέκεται μια δύναμη με μέτρο ανάλογο της ταχύτητας R = bυ (η αντίσταση του αέρα). Να προσδιοριστεί η ταχύτητα του σώματος ως συνάρτηση του χρόνου t. 8. Η δύναμη είναι σταθερή: Σώμα μάζας m κινείται ευθύγραμμα, υπό την επίδραση σταθερής δύναμης μέτρου F. Αν τη χρονική στιγμή t = 0 το σώμα βρισκόταν στην αρχή των αξόνων και είχε ταχύτητα υ 0, να βρεθούν η ταχύτητα και η θέση του συναρτήσει του χρόνου. 9. Σώμα ξεκινά απ την ηρεμία και κινείται με σταθερή επιτάχυνση a 1 = 4m/s 2 για χρόνο t 1 = 6s. Στη συνέχεια κινείται με σταθερή επιτάχυνση a 2 για t 2 = 4s και τέλος με επιτάχυνση a 3 = 6m/s 2, για t 3 = 6s, οπότε και σταματά. Να βρεθούν η επιτάχυνση a 2 και το συνολικό διάστημα (απόσταση) που διανύθηκε. 10. Σώμα ολισθαίνει, χωρίς αρχική ταχύτητα, απ την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου μήκους S, που σχηματίζει γωνία θ, με το οριζόντιο επίπεδο. Αν ο συντελεστής τριβής μεταξύ σωματος και κεκλιμένου επιπέδου είναι µ k, να υπολογιστεί η επιτάχυνση του σώματος. Το g θεωρείται γνωστό. 11. Δύο σώματα συνδέονται με λεπτό νήμα που περνά από τροχαλία χωρίς τριβές. Το σώμα μάζας m 2 βρίσκεται σε κεκλιμένο επίπεδο χωρίς τριβές, που σχηματίζει γωνία θ με την οριζόντια διεύθυνση. Να βρεθούν: η επιτάχυνση των σωμάτων, η τάση του νήματος και η ταχύτητα του m 1, όταν αφεθεί απ την ηρεμία, μετά από χρόνο t = 2s. Δίνονται: m 1 = 2kg, m 2 = 6kg, θ = 55 o. 12. Σε σώμα μάζας m 1 = 8kg, το οποίο βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο, ασκείται οριζόνται δύναμη F x. Το επίπεδο δεν παρουσιάζει τριβές. Στο σώμα αυτό συνδέεται δεύτερο σώμα μάζας m 2 = 2kg, με νήμα που περνά από τροχαλία επίσης χωρίς τριβές. Ναβρεθούν: (α) Για ποιες τιμές της F x το σώμα m 2 επιταχύνεται προς τα πάνω, (β) Για ποιες τιμές της F x η τάση του νήματος είναι μηδέν. Δίνεται g = 9.8m/s 2.

37 Kefˆlaio 5 Omal Kuklik KÐnhsh Ενα σώμα που κινείται σε κυκλική τροχιά και σε ίσους χρόνους διανύει τόξα ίδιου μήκους εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση. 5.1 Qarakthristikˆ thc kuklik c kðnhshc M koc tìxou Ενα σώμα που περιστρέφεται διαγράφει τόξο με μήκος s, το οποίο αντιστοιχεί σε γωνία θ (σχ. 5.1) και δίνεται απ τη σχέση: s = r θ (5.1) Σχήμα 5.1: Μήκος τόξου Το s μετριέται στς ίδιες μονάδες με το r (δηλ. έχει διαστάσεις μήκους) Η γωνία θ μετριέται σε ακτίνια (rad) Gwniak taqôthta Ως γωνιακή ταχύτητα ω ορίζεται η μεταβολή της γωνιακής μετατόπισης ως προς το χρόνο κατά τον οποίο παρατηρήθηκε αυτή η μετατόπιση. Μέση γωνιακή ταχύτητα: ω = θ 2 θ 1 t 2 t 1 = θ t (5.2) 27

38 28 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΟΜΑΛ Η ΚΥΚΛΙΚ Η Κ ΙΝΗΣΗ Στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα: θ ω lim t 0 t = dθ dt (5.3) Οι μονάδες μέτρησης της γωνιακής ταχύτητας είναι: [ω] = rad/s Grammik taqôthta Η γραμμική ταχύτητα ενός σώματος (υλικού σημείου) που κινείται σε κυκλική τροχιά ισούται με το γινόμενο της απόστασης από το κέντρο περιστροφής (ακτίνα κυκλικής τροχιάς) r επί τη γωνιακή ταχύτητα ω (σχ. 5.2): θ = s r θ t = 1 s r t θ lim t 0 t = 1 r lim s t 0 t ω = 1 r υ t = υ t = ωr (5.4) Στο σχ. 5.3 φαίνεται η σχέση μεταξύ γραμμικής και γωνιακής ταχύτητας στην κυκλική κίνηση. Η Σχήμα 5.2: Γραμμική ταχύτητα γωνιακή ταχύτητα είναι διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο που σχηματίζουν η γραμμική ταχύτητα και η ακτίνα της τροχιάς: Απ την εξ. 2.6, το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας ισούται με: υ t = ω r (5.5) Σχήμα 5.3: Γραμμική και γωνιακή ταχύτητα υ t = ω r = ωrsinθ = ωr αφού θ = π 2 sinθ = 1. Το προηγούμενο αποτέλεσμα συμπίπτει με τον ορισμό της εξ. 5.4.

39 5.2. ΚΕΝΤΡΟΜ ΟΛΟΣ Δ ΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΕΠΙΤ ΑΧΥΝΣΗ PerÐodoc thc kðnhshc Περίοδος ενός περιοδικού φαινομένου είναι ο χρόνος που διαρκεί η ολοκλήρωση του φαινομένου. Για την κυκλική κίνηση είναι ο χρόνος που διαρκεί μια πλήρης περιστροφή του σώματος. Ετσι: Η γραμμική ταχύτητα είναι: υ t = ds dt, όπου s το μήκος του τόξου που διαγράφεται. Για μια πλήρη περιστροφή είναι: s = 2πr, οπότε: υ t = 2πr T Από την εξ. 5.4: ω = υ t r ω = 2π T 5.2 Kentromìloc dônamh kai epitˆqunsh Στην ομαλή κυκλική κίνηση, το μέτρο του διανύσματος της γραμμικής ταχύτητας παραμένει σταθερό, ενώ η κατεύθυνσή του μεταβάλλεται (η γραμμική ταχύτητα είναι διάνυσμα εφαπτόμενο σε κάθε σημείο της κυκλικής τροχιάς σχ. 5.3). Η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή του διανύσματος της ταχύτητας είναι μια δύναμη, που είναι κάθετη στο υ t και κατευθύνεται προς το κέντρο της τροχιάς (αν δεν υπήρχε μια τέτοια δύναμη, το σώμα θα κινιόταν σε ευθεία γραμμή στην κατεύθυνση της υ t. Η δύναμη αυτή ονομάζεται κεντρομόλος δύναμη και προκαλεί την κεντρομόλο επιτάχυνση. Το μέτρο της κεντρομόλου δύναμης είναι: και της κεντρομόλου επιτάχυνσης: F k = m υ2 t r = mω2 r (5.6) a k = υ2 t r = ω2 r (5.7) Το ρόλο της κεντρομόλου δύναμης συνήθως «παίζουν» κάποιες απ τις πραγματικές δυνάμεις της φύσης (π.χ. οι δυνάμεις βαρύτητας για τις κινήσεις των πλανητών γύρω απ τον Ηλιο, η τάση του νήματος που συγκρατεί ένα σώμα σε κυκλική τροχιά κ.ο.κ) Ask seic 1. Να βρεθεί η γραμμική ταχύτητα των σημείων της επιφάνειας της Γης, που βρίσκονται στο γεωγραφικό πλάτος των Σερρών. Δίνεται η ακτίνα της Γης R = 6378km. (γεωγραφικό πλάτος: η γωνία φ της ακτίνας που καταλήγει σε έναν τόπο με το επίπεδο του Ισημερινού). 2. Δύο τροχοί με ακτίνες r 1 = 2cm, r 2 = 20cm συνδέονται με ιμάντα. Αν ο πρώτος τεθεί σε περιστροφή, με συχνότητα f 1 = 120 (στροφές/min), να βρεθεί η συχνότητα περιστροφής του δεύτερου τροχού. 3. Δορυφόρος μάζας m κινείται σε κυκλική τροχιά και σε ύψος h, απ την επιφάνεια της Γης. Να υπολογιστεί η περίοδος της κίνησης. 4. Πέτρα προσδένεται στο άκρο νήματος και περιστρέφεται (σχ. Αʹ.11). Οταν το μήκος του νήματος είναι l 1 = 0.6m η ταχύτητα περιστροφής είναι ω 1 = 8στρ/min, ενώ για l 2 = 0.9m η ταχύτητα περιστροφής είναι ω 2 = 6στρ/min. (αʹ) Σε ποια περίπτωση είναι μεγαλύτερο το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας; (βʹ) Ποια η κεντρομόλος επιτάχυνση στις δύο περιπτώσεις;

40 30 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. ΟΜΑΛ Η ΚΥΚΛΙΚ Η Κ ΙΝΗΣΗ 5. Η μάζα που προσδένεται στην άκρη του νήματος ενός απλού εκκρεμούς είναι m = 0.4kg και το εκκρεμές περνά απ το κατώτατο σημείο της τροχιάς του με ταχύτητα υ t = 3m/s. Ποια η τάση του νήματος σε αυτό το σημείο, όταν το μήκος του είναι l = 80cm;

41 Kefˆlaio 6 'Ergo kai Enèrgeia Κάθε φυσική διεργασία που παρατηρείται - εξελίσσεται στο Σύμπαν περιλαμβάνει ενέργεια και μεταφορά/μετατροπή ενέργειας από μια μορφή σε άλλη. Ενας χώρος στον οποίο εκδηλώνονται αλληλεπιδράσεις σε «υποθέματα» χαρακτηρίζεται ως πεδίο. Ετσι, όταν το υπόθεμα είναι υλικό σώμα με μάζα, οι αλληλεπιδράσεις είναι βαρυτικές και το πεδίο χαρακτηρίζεται ως βαρυτικό, όταν το υπόθεμα διαθέτει ηλεκτρικό φορτίο αναφερόμαστε σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο κ.ο.κ. Ενα απομονωμένο πεδίο χαρακτηρίζεται από κάποιο μέγεθος που παραμένει σταθερό. Λέμε τότε ότι το πεδίο περικλείει ενέργεια, που είναι βαθμωτό (μονόμετρο) μέγεθος και μπορεί να είναι θετική ή αρνητική. Η ύπαρξή της γίνεται εμφανής μόνον όταν εισαχθεί κάποιο σώμα (υπόθεμα) στο πεδίο. 6.1 SÔsthma kai peribˆllon Στα προηγούμενα, η μελέτη των προβλημάτων κίνησης βασίστηκε στους νόμους κίνησης του Newton, όπου κάθε σώμα θεωρήθηκε ως ένα σωματίδιο «(μοντέλο σωματιδίου»). Η αντιμετώπιση των προβλημάτων από ενεργειακή σκοπιά οδηγεί στην εισαγωγή του «μοντέλου συστήματος», όπου η προσοχή μας εστιάζεται σε ένα τμήμα του Σύμπαντος (το σύστημα), χωρίς να μας ενδιαφέρει το υπόλοιπο Σύμπαν (περιβάλλον). Σύστημα μπορεί να θεωρηθεί: Ενα σώμα ή σωματίδιο Ενα σύνολο σωμάτων ή σωματιδίων Μια περιοχή του χώρου (π.χ. το εσωτερικό του κινητήρα ενός αυτοκινήτου) Μια περιοχή ή σώμα που μεταβάλλει το μέγεθος και το σχμα του (π.χ. μια μπάλα που προσκρούει σε τοίχο) Υπάρχει πάντα ένα όριο του συστήματος, δηλ. κάποια φανταστική επιφάνεια, που διαχωρίζει το σύστημα απ το περιβάλλον του. Η αλληλεπίδραση συστήματος - περιβάλλοντος εκδηλώνεται με μηχανισμούς μεταφοράς/μετατροπής ενέργειας. Ενας απ τους μηχανισμούς αυτούς είναι το έργο που σχετίζεται με την αλληλεπίδραση (δύναμη). 6.2 H ènnoia tou èrgou 'Ergo stajer c dônamhc Το έργο μιας σταθερής δύναμης ορίζεται ως γινόμενο της συνιστώσας της δύναμης στη διεύθυνση μετατόπισης επί το μέτρο της μετατόπισης (σχ. 6.1): Το έργο είναι βαθμωτό μέγεθος και υπολογίζεται 31

42 32 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 6. ΕΡΓΟ ΚΑΙ ΕΝ ΕΡΓΕΙΑ Σχήμα 6.1: Εργο δύναμης απ τη μαθηματική έκφραση: W = F s = F scosθ (6.1) όπου F x = F cosθ, η συνιστώσα της F, στη διέυθυνση της μετατόπισης. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι το έργο δείχνει το πόσο δραστική είναι η επίδραση της δύναμης πάνω στο σώμα και ότι πρόκειται για μεταφορά ενέργειας μέσω του ορίου του συστήματος. Απ την εξ. 6.1 παρατηρούμε ότι: Το πρόσημο του έργου σχετίζεται με την κατεύθυνση της δύναμης F, σε σχέση με τη μετατόπιση s (μέσω της γωνίας θ). Οταν W > 0 μεταφέρεται ενέργεια απ το περιβάλλον στο σύστημα. Οταν W < 0 μεταφέρεται ενέργεια απ το σύστημα στο περιβάλλον. Οταν η δύναμη είναι κάθετη στη μετατόπιση F s W = 0, δηλ. δεν παράγεται ούτε καταναλώνεται έργο, στο σύστημα. Η μονάδα μέτρησης του εργου, στο SI, είναι ίδια με τη μονάδα μέτρησης της ενέργειας: [W ] = [F ] [x] = 1N m = 1J. Παραδείγματα 1. Σπρώχνουμε ένα καρότσι σούπερ μάρκετ, με σταθερή δύναμη F = 35N, σε κατεύθυνση θ = 25 o προς τα κάτω. Πόσο έργο «γίνεται» για μετακίνηση κατά s = 50m; Σχήμα 6.2: Παράδειγμα 1 Ap' thn ex. 6.1: W = F s = F scosθ = 35(N)50(m)cos( 25 o ) W = 1600(J)